Derivada de una función en un valor del dominio de la misma
Introducción
La derivada de una función nace de formalizar la noción de recta tangente en un valor \(x_0\) para una función \(f(x)\).
En el gráfico siguiente, podemos observar un ejemplo del dibujo de una función junto con la recta tangente en un punto \(x_0\) de su dominio.
La pendiente de la recta tangente (en rojo) vendría a representar lo que denominaremos la derivada de la función \(f(x)\) en \(x=x_0\).
Introducción
Introducción
Definición de derivada de una función en un punto
Consideremos la figura anterior.
La pendiente de una recta recordemos que se define como la tangente del ángulo con el eje X.
Hemos dibujado una función \(f(x)\) que pasa por el punto \((x_0,f(x_0))\) junto con una recta secante que pasa por el punto.
Otro punto de dicha recta dado un valor \(h\) sería \((x_0+h,f(x_0+h))\). Intuitivamente dicha recta secante “tiende” a la tangente cuando el valor \(h\) tiende a cero.
Definición de derivada de una función en un punto
La pendiente de la recta secante como puede observarse es la tangente del ángulo \(\alpha\) que vale \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). Entonces, la definición de derivada de \(f(x)\) en \(x=x_0\) es la siguiente:
Definición de derivada de una función en un punto
Cuando, haciendo un abuso del lenguaje, se dice que la función \(f\) es derivable, se quiere decir que dicha función es derivable en todos los puntos del dominio de la misma.
Definición de derivada de una función en un punto
Fijaos que decir que \(h\) tiende a cero es equivalente a decir que \(x\) tiende a \(x_0\).
Ejemplos
Derivada de la función constante
Veamos que si la función \(f\) es constante en todo su dominio, \(f(x)=k\), para todo \(x\) del dominio, la derivada de \(f\) en cualquier punto del mismo es nula.
Sea \(x_0\) un punto del dominio de \(f\). La derivada de \(f\) en \(x_0\) será: \[ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{k-k}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0} 0 =0. \]
Derivada del monomio de grado \(n\)
Calculemos la derivada de función \(f\) si ésta vale \(f(x)=x^n\), donde \(n\) es un valor natural mayor que \(1\) (\(n=1,2,\ldots\)):
Sea \(x_0\) un punto del dominio de \(f\). La derivada de \(f\) en \(x_0\) será: \[ \begin{array}{rl} f'(x_0) & =\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0} \frac{(x-x_0)(x^{n-1}+x^{n-2}x_0+x^{n-3}x_0^2+\cdots+ x_0^{n-1})}{x-x_0} \\ & \displaystyle =\lim_{x\to x_0} x^{n-1}+x^{n-2}x_0+x^{n-3}x_0^2+\cdots+ x_0^{n-1} =n\cdot x_0^{n-1}. \end{array} \]
Ejemplo
Derivada del monomio de grado \(n\)
La derivada de la función anterior en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente: 
Ejemplos
Derivada del valor absoluto
Consideremos la función \(f(x)=|x|\), valor absoluto de \(x\), definida en todo \(\mathbb{R}\) como: \(f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{si } x\geq 0, \\ -x & \mbox{si }x<0. \end{cases}\)
Estudiemos la derivabilidad de \(f\) en \(x_0=0\), es decir, veamos si el límite siguiente existe: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}\).
Si hacemos el límite anterior por la derecha o para los valores \(x>0\), obtenemos: \[ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x}=\lim_{x\to 0^+}1 =1. \] En cambio, si lo hacemos por la izquierda o para los valores \(x<0\), obtenemos: \[ \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x}=\lim_{x\to 0^-} -1 =-1. \]
Ejemplos
Derivada del valor absoluto
Como los límites anteriores no coinciden, concluimos que el límite \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}\) no existe y por tanto, \(f\) no es derivable en \(x=0\).
Gráficamente se observa que la función anterior tiene una punta en \(x=0\) y, por tanto, \(f\) no puede ser derivable en dicho punto.
Este comportamiento es el usual cuando una función no es derivable en un punto \(x_0\), es decir, se observa gráficamente que en dicho punto, la función no tiene un comportamiento suave.
Ejemplos
Derivada del valor absoluto 
Ejemplo
Derivada del valor absoluto
La gráfica del valor absoluto en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:
Propiedades de las funciones derivables
Derivabilidad implica continuidad
Derivabilidad implica continuidad
Demostración.
Definimos la función siguiente en un entorno de valor \(x_0\): \[ g(x)=\begin{cases} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, & \mbox{si }x\neq x_0,\\ f'(x_0), & \mbox{si } x=x_0. \end{cases} \] Usando que \(f\) es derivable en \(x_0\), tenemos que la función \(g\) definida anteriormente será continua en \(x_0\) ya que: \[ \lim_{x\to x_0} g(x)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)=g(x_0). \] Si despejamos \(f(x)\) de la expresión de \(g(x)\) obtenemos \(f(x)=f(x_0)+g(x)\cdot (x-x_0)\).
Veamos que \(f\) es continua en \(x_0\): \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0} f(x_0)+g(x)\cdot (x-x_0) = f(x_0)+f'(x_0)\cdot 0 = f(x_0), \] tal como queríamos ver.
La derivada de la suma es suma de derivadas
Demostración: \[ \begin{array}{rl} (f+g)'(x_0) & = \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0} \\ & = \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \lim_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)+g'(x_0). \end{array} \]
La derivada de una función por una constante es la constante por la derivada de la función
Demostración:
\[ \begin{array}{rl} (k\cdot f)'(x_0) & \displaystyle =\lim_{x\to x_0}\frac{(k\cdot f)(x)-(k\cdot f)(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x\to x_0}\frac{k\cdot f(x)-k\cdot f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{k\cdot (f(x)-f(x_0))}{x-x_0} \\ &\displaystyle =k\lim_{x\to x_0}\frac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k f'(x_0). \end{array} \]
La derivada del producto de funciones
Demostración: \[ \begin{array}{rl} (f\cdot g)'(x_0) & = \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)\cdot g(x)-f(x_0)\cdot g(x_0)}{x-x_0} \\ & = \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x_0)+f(x)\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot g(x_0)}{x-x_0}\\ & = \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)\cdot (g(x)- g(x_0))+(f(x)-f(x_0))\cdot g(x_0)}{x-x_0}\\ & = \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)\cdot\frac{g(x)- g(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot g(x_0)=f(x_0)\cdot g'(x_0)+f'(x_0)\cdot g(x_0). \end{array} \]
La derivada del cociente de funciones
Demostración: \[ \begin{array}{rl} \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) & = \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\left(\frac{f}{g}\right)(x)-\left(\frac{f}{g}\right)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_0)}{g(x_0)}}{x-x_0} =\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)\cdot g(x_0)-g(x)\cdot f(x_0)}{g(x)\cdot g(x_0)\cdot (x-x_0)} \\ & \displaystyle =\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g(x_0) -g(x)\cdot f(x_0)}{g(x)\cdot g(x_0)\cdot (x-x_0)} \\ & = \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)\cdot g(x_0)}\cdot \left(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot \lim_{x\to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right) \\ & = \displaystyle \frac{1}{g(x_0)^2}(f'(x_0)\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot g'(x_0)). \end{array} \]
Derivada de la función inversa
Derivada de la función inversa
Demostración:
El valor de \(g'(f(x_0))\) es: \(g'(f(x_0)) = \displaystyle\lim_{y\to f(x_0)}\frac{g(y)-g(f(x_0))}{y-f(x_0)}.\)
Para el cálculo del límite anterior, hacemos el cambio de variable siguiente: \(y=f(x)\), o \(x=g(y)\). Como \(y\) tiende a \(f(x_0)\), tendremos con la variable nueva que \(f(x)\) tiende a \(f(x_0)\) pero como \(g\) es continua en \(f(x_0)\), deducimos que \(g(f(x))=x\) tiende a \(g(f(x_0))=x_0\). En resumen, el límite anterior puede escribirse como: \[ g'(f(x_0)) =\lim_{x\to x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} = \frac{1}{\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\frac{1}{f'(x_0)}. \]
Ejemplo
Ejemplo: derivada de la función \(g(x)=\sqrt[n]{x}\).
La función \(g(x)=\sqrt[n]{x}\) es la inversa de la función \(f(x)=x^n\) ya que: \(g(f(x))=g(x^n)=\sqrt[n]{x^n}=x\).
Usando la expresión vista anteriormente, podemos escribir que: \(g'(f(x))=g'(x^n)=\frac{1}{f'(x)}\).
En un ejemplo anterior vimos que \(f'(x)=n\cdot x^{n-1}\). Por tanto: \(g'(x^n)=\frac{1}{n\cdot x^{n-1}}\).
Sea \(y=x^n\), entonces \(x=\sqrt[n]{y}\). Por tanto, \(g'(y)=\frac{1}{n\cdot x^{n-1}}=\frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{y^{n-1}}}\).
La derivada de la función \(g(x)\) en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:
Ejemplo
Ejemplo: derivada de la función \(\tan x\).
La función \(\tan x\) está definida como \(\frac{\sin x}{\cos x}\).
Calculemos primero la derivada de la función \(\sin x\) en un valor \(x_0\): \[ \begin{array}{rl} (\sin)'(x_0) & \displaystyle =\lim_{x\to x_0}\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{2\cos\left(\frac{x+x_0}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{x-x_0}=2\cdot \cos(x_0)\lim_{x\to x_0}\frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{x-x_0} \\ & \displaystyle = \cos(x_0)\lim_{x\to x_0}\frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{\frac{x-x_0}{2}} = \cos(x_0), \end{array} \] usando que \(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{\frac{x-x_0}{2}}=1.\) La expresión anterior se deduce del hecho de que \(\lim\limits_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}=1\).
Si se hace el cambio de variable \(t=\frac{x-x_0}{2}\) y teniendo en cuenta que como \(x\to x_0\), entonces \(t\to 0\), los dos límites anteriores son iguales a 1.
Ejemplo
Ejemplo: derivada de la función \(\tan x\).
Para calcular la derivada de la función \(\cos x\), usamos una técnica similar: \[ \begin{array}{rl} (\cos)'(x_0) & \displaystyle =\lim_{x\to x_0}\frac{\cos x-\cos x_0}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{-2\sin\left(\frac{x+x_0}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{x-x_0}=-2\cdot \sin(x_0)\lim_{x\to x_0}\frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{x-x_0} \\ & \displaystyle =- \sin(x_0)\lim_{x\to x_0}\frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{\frac{x-x_0}{2}} = -\sin(x_0). \end{array} \] Usamos la propiedad de la derivada del cociente, podemos hallar la derivada de la función \(\tan x\): \[ \begin{array}{rl} (\tan)'(x_0) & =\left(\frac{\sin}{\cos}\right)'(x_0)=\frac{\sin'(x_0)\cdot \cos(x_0)-\sin (x_0)\cdot \cos'(x_0)}{\cos^2(x_0)}=\frac{\cos(x_0)\cdot \cos(x_0)+\sin (x_0)\cdot \sin(x_0)}{\cos^2(x_0)} \\ & = \frac{\cos^2(x_0)+\sin^2(x_0)}{\cos^2(x_0)}=\frac{1}{\cos^2 (x_0)}=1+\tan^2 (x_0). \end{array} \]
La derivada de la función \(\tan x\) en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena
Demostración: \[ \begin{array}{rl} (g\circ f)'(x_0) & \displaystyle =\lim_{x\to x_0}\frac{(g\circ f)(x)-(g\circ f)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0} \\ & \displaystyle =\lim_{x\to x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\cdot \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0). \end{array} \] En el último cálculo, podemos afirmar que el límite \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\) vale \(g'(f(x_0))\) porque como \(f\) es derivable en \(x_0\), \(f\) será continua en \(x_0\) y si \(x\to x_0\), entonces \(f(x)\to f(x_0)\) y el límite anterior queda: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} =\lim_{f(x)\to f(x_0)}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}=g'(f(x_0)). \]
Ejemplo
Ejemplo
Hallemos la derivada de la función \(h(x)=\arctan (x^3+x^2+1)\).
La función anterior es la composición de la función \(f(x)=x^3+x^2+1\) y \(g(y)=\arctan y\), es decir: \(h(x)=(g\circ f)(x)\).
La derivada de la función \(f(x)\) se puede calcular usando la propiedad de la suma de derivadas y la expresión de la derivada del monomio \(x^n\): \[ (x^3+x^2+1)'=(x^3)'+(x^2)'+(1)' = 3x^2+2x+0=3x^2+2x. \]
A continuación, hallemos la derivada de la función \(g(y)=\arctan y\). Dicha función es la función inversa de la función \(\tan x\). Usando la expresión de la derivada de la función inversa, tenemos: \[ g'(\tan x)=\frac{1}{\tan'(x)}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 x}}=\cos^2 x. \]
Ejemplo
Ejemplo
Para hallar \(g'(y)\), tenemos que escribir \(y=\tan x\), y, por tanto, \(x=\arctan y\): \[ g'(y)=\cos^2(\arctan y)=\frac{1}{1+\tan^2 (\arctan y)}=\frac{1}{1+y^2}, \] donde hemos usado la siguiente relación trigonométrica: \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1+\tan^2\alpha}\).
La derivada de la función \(h(x)\) usando la regla de la cadena será: \[ \begin{array}{rl} h'(x) & =(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)=\frac{1}{1+f(x)^2}\cdot (3 x^2+2x)=\frac{3x^2+2x}{1+(x^3+x^2+1)^2}\\ & =\frac{3x^2+2x}{x^6+2 x^5+x^4+2 x^3+2 x^2+2}. \end{array} \]
La derivada de la función \(h(x)\) en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:
Tablas de derivadas
Si vais a tablas de derivadas y escribís “tablas de derivadas” en la casilla de búsqueda, encontraréis un montón de tablas de derivadas para las funciones más usadas.
Teoremas de derivación
Relación de la derivación con los extremos relativos de una función
Relación de la derivación con los extremos relativos de una función
Los puntos donde \(f\) presente un máximo o un mínimo relativos o absolutos se denominan extremos relativos o absolutos de la función.
Ejemplo
Ejemplo
Consideremos la función siguiente definida en el intervalo \((-2\pi,2\pi)\): \[ \begin{array}{rl} f:(-2\pi,2\pi) & \longrightarrow \mathbb{R},\\ x& \longrightarrow \sin(x)-\cos(x). \end{array} \] El gráfico de dicha función puede observase en la figura siguiente.
Vemos que tiene dos máximos relativos en los valores \(x=-\frac{5}{4}\pi\) y \(x=\frac{3}{4}\pi\) y dos mínimos relativos en los valores \(x=-\frac{\pi}{4}\) y \(x=\frac{7}{4}\pi\).
Observamos que dichos máximos y mínimos son absolutos.
El gráfico de la función anterior puede verse en Wolfram Alpha en el enlace siguiente:
Ejemplo
Relación de la derivación con los extremos relativos de una función
Intuitivamente, el teorema anterior nos dice que si la función \(f\) tiene un comportamiento suave en el extremo \(x_0\), la recta tangente en este punto tiene que ser horizontal, es decir, su pendiente tiene que ser nula, tal como podemos observar en los extremos del ejemplo anterior.
Relación de la derivación con los extremos relativos de una función
Demostración
Como \(f\) es derivable en el punto \(x_0\), sabemos que existe el límite siguiente \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\).
Decir que \(f\) es derivable en \(x_0\) es equivalente a decir que la función siguiente: \[ g(x)=\begin{cases} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, & \mbox{si }x\neq x_0,\\ f'(x_0), &\mbox{si }x=x_0, \end{cases} \] es continua en \(x_0\).
Veamos a continuación que necesariamente \(g(x_0)=f'(x_0)=\) y quedará demostrado el teorema.
Supongamos que \(g(x_0)>0\). Como la función \(g\) es continua en \(x_0\), por el teorema de conservación del signo de funciones continuas, existirá un entorno de \(x_0\), es decir, existirá un \(\delta >0\) tal que si \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq (a,b)\), \(g(x)>0\) también será positiva para todos los valores \(x\) de dicho entorno.
Relación de la derivación con los extremos relativos de una función
Demostración
Es decir, para todo \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\), \(g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0\).
Esto es equivalente a decir que el numerador y el denominador de la fracción anterior tienen el mismo signo o, dicho en otras palabras:
- si \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\) y \(x>x_0\), entonces \(f(x) > f(x_0)\) y,
- si \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\) y \(x<x_0\), entonces \(f(x) < f(x_0)\).
Las condiciones anteriores contradicen el hecho que \(x_0\) sea un extremo ya que hemos encontrado valores en un entorno del mismo que superan \(f(x_0)\) y valores del mismo entorno que son menores que \(f(x_0)\). En conclusión, llegamos a una contradicción al suponer que \(g(x_0)=f'(x_0)>0\).
Ejercicio
Suponer que \(g(x_0)=f'(x_0)<0\) y ver que se llega a una contradicción razonando de manera similar.
Relación de la derivación con los extremos relativos de una función
Demostración
Al no poder ser que \(f'(x_0)>\) ni \(f'(x_0)<0\), necesariamente \(f'(x_0)=0\) tal como queríamos demostrar.
Observación: el recíproco del teorema anterior es falso. Es decir, el hecho que \(f'(x_0)\) sea 0, no implica que \(x_0\) sea un extremo relativo de la función.
Ejemplo
Considerar, por ejemplo, la función \(f(x)=x^2\cdot \sin(x)\). Si derivamos dicha función, obtenemos: \[ f'(x)=2x\sin(x)+x^2\cos(x). \] Vemos que \(f'(0)=0\). En cambio \(f\) no tiene ningún extremo en este punto tal como se observa en el gráfico de su función:
Relación de la derivación con los extremos relativos de una función
Ejemplo 
Relación de la derivación con los extremos relativos de una función
Ejemplo
Para ver que el 0 no es extremo relativo, es facil ver que para \(x\in (0,\pi)\), \(f(x)\geq 0\) y para \(x\in (-\pi,0)\), \(f(x)\leq 0\). Comprobémoslo para unos cuantos valores en python, para \(x=-0.2,-0.1,0.1,0.2\):
from sympy import * def f(x): return(x**2*sin(x))
Relación de la derivación con los extremos relativos de una función
Ejemplo
for x in [-0.2,-0.1,0.1,0.2]:
print('f({x})={res}'.format(x=x, res=f(x)))
## f(-0.2)=-0.00794677323180245 ## f(-0.1)=-0.000998334166468282 ## f(0.1)=0.000998334166468282 ## f(0.2)=0.00794677323180245
Relación de la derivación con los extremos relativos de una función
Ejemplo
El cálculo de la derivada de la función anterior puede verse en Wolfram Alpha en el enlace siguiente:
El gráfico de la función anterior puede verse en Wolfram Alpha en el enlace siguiente:
Relación de la derivación con el crecimiento de una función
Relación de la derivación con el crecimiento de una función
Relación de la derivación con el crecimiento de una función
Relación de la derivación con el crecimiento de una función
Relación de la derivación con el crecimiento de una función
Relación de la derivación con el crecimiento de una función
Demostración
Como \(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0\), usando la definición de límite tenemos que: \[ \forall \epsilon >0,\ \exists\delta >0\ \mbox{t.q. si }|x-x_0|<\delta,\mbox{ entonces }\left|f'(x_0)-\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|< \epsilon. \]
Relación de la derivación con el crecimiento de una función
Demostración
La última condición se puede escribir de la siguiente manera: \[ f'(x_0)-\epsilon < \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} < f'(x_0)+\epsilon. \] Como \(f'(x_0)>0\), siempre es posible hallar un \(\epsilon >0\) tal que \(f'(x_0)-\epsilon>0\).
Para este \(\epsilon >0\), podemos encontrar un entorno de \(x_0\), es decir, un \(\delta >0\) tal que si \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\), entonces: \[ 0<f'(x_0)-\epsilon < \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} < f'(x_0)+\epsilon, \] de donde deducimos que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0\) para todo \(x\) del entorno, \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\), lo que equivale a decir que \(f\) es estrictamente creciente en \(x_0\).
Relación de la derivación con el crecimiento de una función
Ejercicio
Demostrar la proposición anterior usando la misma técnica que para demostrar que si \(f'(x_0)>0\), entonces \(f\) es estrictamente creciente en \(x_0\).
Ejemplo
Ejemplo
Consideremos la función siguiente de un ejemplo anterior: \(f(x)=\sin(x)-\cos(x)\).
La derivada de la función \(f\) vale: \(f'(x)=\cos(x)+\sin(x)\).
Dicha función se anula en los extremos \(x=-\frac{5}{4}\pi,-\frac{\pi}{4},\frac{3}{4}\pi\) y \(\frac{7}{4}\pi\):
def f(x):
return(cos(x)+sin(x))
for x in [-5*pi/4,-pi/4,3*pi/4,7*pi/4]:
print('f({x})={res}'.format(x=x, res=f(x)))
## f(-5*pi/4)=0 ## f(-pi/4)=0 ## f(3*pi/4)=0 ## f(7*pi/4)=0
Ejemplo
En los puntos \(x=-\frac{3}{2}\pi\) y \(x=\frac{\pi}{2}\) la función es estrictamente creciente al tener derivada positiva en dichos puntos:
for x in [-3*pi/2,pi/2]:
print('f({x})={res}'.format(x=x, res=f(x)))
## f(-3*pi/2)=1 ## f(pi/2)=1
En cambio, en los puntos \(x=-\frac{\pi}{2}\) y \(\frac{3}{2}\pi\) la función es estrictamente decreciente al tener derivada negativa en dichos puntos:
for x in [-pi/2,3*pi/2]:
print('f({x})={res}'.format(x=x, res=f(x)))
## f(-pi/2)=-1 ## f(3*pi/2)=-1
Teorema de Rolle. Teorema del valor medio
Las proposiciones vistas hasta ahora nos estudian el comportamiento local de una función en un punto en términos de su crecimiento dependiendo del signo de la derivada de dicha función en dicho punto.
Vamos a ver dos resultados que estudian las propiedades globales de la función en todo su dominio a partir del comportamiento de la función derivada de dicha función.
El teorema de Rolle dice en pocas palabras que si una función derivable en todo su dominio coincide en los extremos del mismo, necesariamente ha de tener como mínimo un extremo. Intuitivamente, el resultado es claro ya que si suponemos por ejemplo que la función crece en su extremo izquierdo \(a\), como \(f(a)=f(b)\), donde \(b\) es su extremo derecho, en algún momento tiene que decrecer. Por tanto, en “dicho momento”, la función tendrá un extremo o un máximo en este caso:
Teorema de Rolle. Teorema del valor medio
Teorema de Rolle. Teorema del valor medio
El teorema del valor medio nos dice que dada una función derivable en todo su dominio, ha de existir un punto en el que recta tangente en dicho punto sea paralela a la recta que pasa por los extremos del dominio de la función.
En el gráfico siguiente la recta verde es la recta que pasa por los extremos de la función (en azul) y la recta roja es la recta tangente al punto \(c\) que pertenece al dominio de la función.
Teorema de Rolle. Teorema del valor medio
Teorema de Rolle
Teorema de Rolle
Demostración
Como la función \(f\) es continua en el intervalo cerrado \([a,b]\), deducimos que \(f\) tiene un máximo absoluto \(M\) y un mínimo absoluto \(m\).
Pueden ocurrir dos casos:
- Que el máximo absoluto se alcance en el extremo \(a\) y el mínimo, en el extremo \(b\), con \(f(a)=M\) y \(f(b)=m\) o al revés, es decir, que el máximo absoluto se alcance en el extremo \(b\) y el mínimo, en el extremo \(a\), con \(f(a)=m\) y \(f(b)=M\). Como \(f(a)=f(b)\), resulta que \(M=m\) y la única función en un intervalo en donde su máximo coincide con su mínimo es la función constante. En este caso \(f'(x)=0\), para todo \(x\in (a,b)\) como ya vimos anteriormente y el teorema quedaría demostrado en este caso.
- Supongamos que el máximo o el mínimo de la función se alcanza en un punto \(c\in (a,b)\) del interior del intervalo. Por un teorema visto anteriormente, tenemos que \(f'(c)=0\) y el teorema quedaría demostrado también en este caso.
Teorema del valor medio de Cauchy
Teorema del valor medio de Cauchy
Demostración
Consideramos la función siguiente: \[ h(x)=f(x)\cdot (g(b)-g(a))-g(x)\cdot (f(b)-f(a)), \] que será continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\) al ser suma de productos de funciones continuas y derivables por constantes.
La idea es aplicar el teorema de Rolle a la función \(h(x)\). Calculemos \(h(a)\) y \(h(b)\): \[ \begin{array}{rl} h(a) & = f(a)\cdot (g(b)-g(a))-g(a)\cdot (f(b)-f(a)) = f(a)\cdot g(b)-g(a)\cdot f(b),\\ h(b) & = f(b)\cdot (g(b)-g(a))-g(b)\cdot (f(b)-f(a)) = -f(b)\cdot g(a)+g(b)\cdot f(a). \end{array} \] Se cumple, por tanto, que \(h(a)=h(b)\). Aplicando el teorema de Rolle a la función \(h\), tenemos que existe un punto \(c\in (a,b)\) tal que \(h'(c)=0\): \[ h'(c)=f'(c)\cdot (g(b)-g(a))-g'(c)\cdot (f(b)-f(a))=0, \] de donde deducimos lo que dice la tesis del teorema: \[ f'(c)\cdot (g(b)-g(a)) = g'(c)\cdot (f(b)-f(a)). \]
Teorema del valor medio de Lagrange
Ejercicio
Demostrar el teorema del valor medio de Lagrange.
Indicación: considerar \(f(x)\) la función del teorema, \(g(x)=x\) y aplicar el teorema del valor medio de Cauchy.
Teorema del valor medio de Lagrange
Resultados que se derivan de los teoremas de Rolle y del valor medio
Demostración
Sea \(x\in (a,b]\). Veamos que \(f(x)=f(a)\) y, por tanto, \(f\) será constante.
Para ello, consideremos la función \(f\) restringida al intervalo \([a,x]\), \(f:[a,x]\longrightarrow\mathbb{R}\), que será continua en \([a,x]\) y derivable en \((a,x)\). Si aplicamos el teorema del valor medio de Lagrange, tenemos que existe un \(c\in (a,x)\) tal que: \[ f(x)-f(a)=f'(c)\cdot (x-a)=0, \] ya que nos dicen que \(f'(c)=0\) al ser la derivada nula en cualquier punto del intervalo \((a,b)\).
Deducimos, por tanto, que \(f(x)=f(a)\), condición que equivale a que la función \(f\) es constante.
Resultados que se derivan de los teoremas de Rolle y del valor medio
Ejercicio
Demostrar el corolario anterior.
Indicación: aplicar el resultado que hemos visto antes a la función \(h(x)=f(x)-g(x)\).
Resultados que se derivan de los teoremas de Rolle y del valor medio
Demostración
\(\Rightarrow\) Supongamos que la función \(f\) es creciente en \((a,b)\). Esto significa que fijado \(x_0\in (a,b)\) en el intervalo, existe un entorno de \(x_0\), es decir, existe un \(\delta >0\), tal que para todo valor \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\), se verifica que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0\).
Entonces, usando que \(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\), tendremos que \(f'(x_0)\geq 0\), tal como queríamos ver.
Resultados que se derivan de los teoremas de Rolle y del valor medio
Demostración
\(\Leftarrow\) Supongamos ahora que \(f'(x_0)\geq 0\), para todo valor \(x_0\in (a,b)\) dentro del intervalo. Veamos que \(f\) es creciente en \(x_0\).
Sea \(x>x_0\). Si aplicamos el teorema del valor medio de Lagrange a la función \(f\) restringida al intervalo \([x_0,x]\) tenemos que existe un valor \(c\) tal que: \[ f'(c)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0. \] Sea ahora \(x<x_0\). Si volvemos a aplicar el el teorema del valor medio de Lagrange a la función \(f\) restringida al intervalo \([x,x_0]\) tenemos que existe un valor \(c\) tal que: \[ f'(c)=\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0. \]
Resultados que se derivan de los teoremas de Rolle y del valor medio
Demostración
En resumen, el cociente \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0\) siempre es positivo, condición que equivale a afirmar que \(f\) es creciente en \(x_0\).
De hecho, hubiera sido suficiente demostrar que el cociente anterior es positivo en un entorno de \(x_0\) pero hemos demostrado más, hemos visto que dicho cociente siempre es positivo sea cual sea el valor \(x\in (a,b)\) del intervalo.
Resultados que se derivan de los teoremas de Rolle y del valor medio
Ejercicio
Demostrar el corolario anterior usando la misma técnica de demostración para el caso en que la función \(f\) es creciente.
Ejemplo
Ejemplo
Consideremos la función vista anteriormente \(f(x)=\sin (x)-\cos(x)\) definida en el intervalo \((-\pi,\pi)\).
Como \(f(-\pi)=1=f(\pi)\), aplicando el teorema de Rolle, sabemos que existe como mínimo un valor \(c\) tal que \(f'(c)=0\). De hecho, hay dos como hemos visto anteriormente: \(c=-\frac{\pi}{4}\) y \(c=\frac{3}{4}\pi\): \[ \begin{array}{rl} f'(x) & =\cos(x)+\sin(x),\\ f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) & =\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0,\\ f'\left(\frac{3\pi}{4}\right) & =\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=0. \end{array} \] Si ahora consideramos la función anterior pero definida en el intervalo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), tenemos que existe un valor \(c\) tal que: \[ f'(c)=\cos(c)+\sin(c)=\frac{f\left(\frac{\pi}{2}\right)-f\left(-\frac{\pi}{2}\right)}{\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{1-(-1)}{\pi}=\frac{2}{\pi}. \]
Ejemplo
Hallemos a continuación el valor \(c\): \[ \begin{array}{rl} \cos(c)+\sin(c) & = \frac{2}{\pi}, \\ \cos(c) & = \frac{2}{\pi}-\sin(c), \\ \pm \sqrt{1-\sin^2(c)} & = \frac{2}{\pi}-\sin(c), \\ 1-\sin^2(c) & = \left(\frac{2}{\pi}-\sin(c)\right)^2 = \frac{4}{\pi^2}+\sin^2(c)-\frac{4}{\pi}\sin(c),\\ 2\sin^2(c)-\frac{4}{\pi}\sin(c)+\frac{4}{\pi^2}-1 & = 0,\\ \sin(c) & = \frac{\frac{4}{\pi}\pm \sqrt{\frac{16}{\pi^2}-8\cdot\left(\frac{4}{\pi^2}-1\right)}}{4},\\ \sin(c) & = \frac{\frac{4}{\pi}\pm \sqrt{8-\frac{16}{\pi^2}}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{8\pi^2-16}}{4\pi}=\frac{2\pm\sqrt{2\pi^2-4}}{2\pi}. \end{array} \]
Ejemplo
El valor de \(\cos(c)\) será: \[ \begin{array}{rl} \cos(c) & =\pm\sqrt{1-\left(\frac{2\pm\sqrt{2\pi^2-4}}{2\pi}\right)^2} = \pm\sqrt{1-\frac{2\pi^2\pm 4\sqrt{2\pi^2-4}}{4\pi^2}}=\pm\sqrt{\frac{2\pi^2\mp4\sqrt{2\pi^2-4}}{4\pi^2}}\\ & =\pm\sqrt{\frac{(2\mp\sqrt{2\pi^2-4})^2}{4\pi^2}} = \pm\frac{(2\mp\sqrt{2\pi^2-4})}{2\pi}. \end{array} \] Entonces las parejas \((\sin(c),\cos(c))\) son las siguientes:
- si \(\sin(c)=\frac{2+\sqrt{2\pi^2-4}}{2\pi}\), entonces \(\cos(c)=\frac{2-\sqrt{2\pi^2-4}}{2\pi}\),
- si \(\sin(c)=\frac{2-\sqrt{2\pi^2-4}}{2\pi}\), entonces \(\cos(c)=\frac{2+\sqrt{2\pi^2-4}}{2\pi}\).
El primer caso no puede ser ya que \(\cos(c)<0\) y como estamos en el intervalo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), la función coseno es positiva.
Sólo será solución el segundo caso, donde el valor de \(c\) será aproximadamente: -0.318.
Ejemplo
Comprobemos usando python que el valor de \(c\) hallado es el correcto:
from numpy import *
c=arcsin((2-sqrt(2*pi**2-4))/(2*pi))
derivada_c = sin(c)+cos(c)
k=2/pi
print('El valor de c es: {c}'.format(c=c))
## El valor de c es: -0.318455713398
Ejemplo
print('El valor de la derivada de f en c es:{x}'.format(x=derivada_c))
## El valor de la derivada de f en c es:0.636619772368
print('El valor de 2/pi es:{k}'.format(k=k))
## El valor de 2/pi es:0.636619772368
Regla de L’Hôpital
Una de las aplicaciones más importantes de las derivadas es su aplicación al cálculo de límites de funciones.
La regla de L’Hôpital nos permite calcular límites indeterminados usando derivadas:
Regla de L’Hôpital
- \(f\) y \(g\) son derivables en un entorno del punto \(c\),
- \(f(c)=g(c)=0\),
- \(g(x)\neq 0\) para todo valor \(x\) del entorno de \(c\) diferente de \(c\),
- \(g'(x)\neq 0\), para todo valor \(x\) del entorno de \(c\) diferente de \(c\).
Si se verifican las condiciones anteriores y el límite siguiente existe \(\displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\) y vale \(L\) (\(L\) puede ser \(\pm\infty\)), entonces también existe el límite \(\displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=L\) y vale \(L\).
Regla de L’Hôpital
Demostración
Sea \(\delta >0\) tal que \((c-\delta,c+\delta)\subseteq (a,b)\) en entorno de \(c\) donde se cumplen las condiciones del teorema.
Sea \(x\in (c-\delta,c+\delta)\) un valor del entorno. Podemos afirmar que en intervalo \([c,x]\) se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy ya que \(f\) y \(g\) son derivables en \((c,x)\) al serlo en todo el entorno \((c-\delta,c+\delta)\) y continuas en \([c,x]\) ya que como son derivables en todo en entorno, serán continuas y como \([c,x]\subset (c-\delta,c+\delta)\), también serán continuas en el intervalo \([c,x]\).
Usando por tanto el teorema del valor medio de Cauchy, podemos afirmar que existe un punto \(d\in (c,x)\) tal que: \[ f'(d)\cdot (g(d)-g(c))=g'(d)\cdot (f(d)-f(c)). \] Recordemos que \(f(c)=g(c)=0\), \(f'(d)\neq 0\) y \(g'(d)\neq 0\) ya que suponíamos que las derivadas \(f'\) y \(g'\) no se anulaban en el entorno de \(c\). Usando las condiciones anteriores, podemos simplificar la expresión anterior de la siguiente manera: \[ \frac{f'(d)}{g'(d)}=\frac{f(d)}{g(d)}. \]
Regla de L’Hôpital
Si hacemos tender \(x\to c\), como \(d\in (c,x)\), tendremos que \(d\to c\). Por tanto, \[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L, \] por hipótesis.
En resumen, si existe \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\), también existe el límite \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}\) y los dos coinciden.
Ejemplo
Ejemplo
Calculemos el valor del límite siguiente \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x-x\cos x}\).
Observemos que si sustituimos por el valor \(0\), obtenemos la indeterminación \(\frac{0}{0}\).
Usando la regla de L’Hôpital, calculemos el límite anterior: \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x-x\cos x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{1-\cos x+x\sin x}=\frac{0}{0}. \] Nos vuelve a dar la indeterminación \(\frac{0}{0}\). Aplicando la regla de L’Hôpital por segunda vez, obtenemos: \[ \lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{1-\cos x+x\sin x} =\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{\sin x+\sin x+x\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{2\sin x+x\cos x}=\frac{0}{0}. \]
Ejemplo
Nos vuelve a dar la indeterminación \(\frac{0}{0}\). Aplicando la regla de L’Hôpital por tercera vez, obtenemos: \[ \lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{2\sin x+x\cos x} =\lim_{x\to 0}\frac{-\cos x}{2\cos x+\cos x-x\sin x}=\frac{-1}{3}. \] El límite tiene el valor \(-\frac{1}{3}\).
El límite anterior en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:
Regla de L’Hôpital
¡Cuidado!
La regla de L’Hôpital sólo se puede aplicar en un sentido. Es decir, si existe el límite \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\), bajo las condiciones del Teorema anterior, existe el \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}\) y son iguales; ahora bien, si no existe el límite \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\), no podemos decir nada acerca del límite \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}\). Véase el ejemplo siguiente.
Ejemplo
Ejemplo
Consideremos el límite siguiente: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x}.\)
Si sustituimos \(x\) por \(0\) en el límite anterior obtenemos el valor \(\frac{0}{0}\), pensad que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0\) vale \(0\) ya que es el límite de una funció que tiende a 0 (\(x^2\)) por una función acotada (\(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)).
Apliquemos pues la regla de l’Hôpital: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x} & \displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)+x^2\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)}{\cos x}= \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x} \\ & \displaystyle =\lim_{x\to 0} \frac{2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x}-\lim_{x\to 0}\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x} = 0-\lim_{x\to 0}\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x} = -\lim_{x\to 0}\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x}. \end{array} \] El límite \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x}\) vale \(0\) ya que el denominador tiende a \(1\) cuando \(x\to 0\) y el numerador es el límite de una función que tiende a \(0\) (\(2x\)) por una función acotada (\(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)).
Ejemplo
El límite anterior no existe ya que si consideramos la sucesión \(x_n=\frac{1}{2\pi n}\longrightarrow 0\), si \(n\to\infty\), el límite de la sucesión \(\frac{\cos\left(\frac{1}{x_n}\right)}{\cos x_n}\) vale: \[ -\lim_{n\to\infty}\frac{\cos (2\pi n)}{\cos\left(\frac{1}{2\pi n}\right)}=-1. \] En cambio, si consideramos la sucesión \(y_n =\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}\longrightarrow 0\), si \(n\to\infty\), el límite de la sucesión \(\frac{\cos\left(\frac{1}{y_n}\right)}{\cos y_n}\) vale: \[ -\lim_{n\to\infty}\frac{\cos \left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)}{\cos\left(\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}\right)}=0. \]
Ejemplo
A continuación estaríamos tentados a decir que nuestro límite inicial \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x}\) no existe pero esto es falso ya que: \[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x}= \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}\cdot \lim_{x\to 0} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=1\cdot 0=0! \] El primer límite \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}\) vale \(1\) ya que vimos en su momento que \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\), por tanto, si hacemos el límite de su recíproco también será \(1\): \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1\).
El segundo límite \(\displaystyle \lim_{x\to 0} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) vale \(0\) ya que es el límite de una función que tiende a \(0\) (\(x\)) por una función acotada (\(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)).
Ejemplo
En resumen, que no exista el límite una vez aplicada la regla de l’Hôpital no significa que no exista el límite inicial que nos hemos planteado.
El límite anterior en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:
Fórmula de Taylor
Introducción
La idea fundamental de la fórmula de Taylor es aproximar localmente una función en un entorno de un valor determinado por las funciones más sencillas que se conocen, los polinomios.
Dicho de manera más explícita, consideremos una función \(f:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}\) que se puede derivar hasta un cierto orden, pongamos \(n+1\), para un cierto valor \(n\) natural, y sea \(x_0\in (a,b)\) un valor del interior del dominio de \(f\). Queremos hallar un polinomio \(P_n(x)\) tal que se verifique que \(f\) y \(P_n\) sean “iguales” en \(x_0\) hasta orden \(n\): \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x)}{(x-x_0)^n} =0,\mbox{ para }m=0,1,\ldots,n. \]
Introducción
La condición anterior para \(m=0\) es la siguiente: \[ \lim_{x\to x_0}f(x)-P_n(x) =0,\ \Rightarrow P_n(x_0)=f(x_0), \] es decir, la función y el polinomio a hallar deben coincidir en el valor \(x_0\).
Introducción
La condición anterior para \(m=1\) es la siguiente: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x)}{(x-x_0)} =0,\ \Rightarrow P_n'(x_0)=f'(x_0), \] es decir, la derivada de la función y el polinomio a hallar deben coincidir en el valor \(x_0\) ya que si aplicamos la regla de L’Hôpital (el límite es indeterminado de la forma \(\frac{0}{0}\) ya que recordemos que \(P_n(x_0)=f(x_0)\)): \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x)}{(x-x_0)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-P_n'(x)}{(x-x_0)}=0, \] y el numerador debe ser \(0\) para \(x=x_0\) ya que en caso contrario el límite anterior sería de la forma \(\frac{f'(x_0)-P_n'(x_0)}{0}=\infty\), al ser el numerador diferente de \(0\).
Introducción
En general, la condición para \(m\) entre \(0\) y \(n\) es la siguiente: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x)}{(x-x_0)^m} =0,\ \Rightarrow P_n^{(m)}(x_0)=f^{(m)}(x_0), \] es decir, la derivada \(m\)-ésima de la función y el polinomio a hallar deben coincidir en el valor \(x_0\) ya que si aplicamos la regla de L’Hôpital \(m\) veces (el límite es indeterminado de la forma \(\frac{0}{0}\) ya que recordemos que \(P_n^{(i)}(x_0)=f^{(i)}(x_0)\) para los \(i\) anteriores desde \(0\) hasta \(m-1\)): \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x)}{(x-x_0)^m} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-P_n(x)}{m (x-x_0)^{m-1}}=\cdots = \lim_{x\to x_0}\frac{f^{(m)}(x)-P_n^{(m)}(x)}{m! (x-x_0)}=0, \]
Introducción
y el numerador debe ser \(0\) para \(x=x_0\) ya que en caso contrario el límite anterior sería de la forma \(\frac{f^{(m)}(x_0)-P_n^{(m)}(x_0)}{0}=\infty\), al ser el numerador diferente de \(0\).
Importante:
Las condiciones que debe verificar el polinomio \(P_n(x)\) para aproximar la función \(f(x)\) hasta orden \(n\) en un entorno del punto \(x_0\) son las siguientes: \[ P_n^{(m)}(x_0)=f^{(m)}(x_0),\mbox{ para }m=0,\ldots,n. \] En este caso decimos que el polinomio \(P_n(x)\) tiene en el punto \(x_0\) orden de contacto con \(f\) superior a \(n\).
Introducción
Ejemplo ilustrativo
En el enlace siguiente se muestra la función \(f(x)=\sin x\) (en rojo) y los polinomios de grado \(1\), \(P_1(x)\) (la recta en azul discontinua), de grado \(3\), \(P_3(x)\) (la curva en azul discontinua) para \(x_0=0\). El polinomio \(P_2(x)\) coincide con el polinomio de grado \(1\) en este caso ya que el coeficiente de \(x^2\) vale \(0\) como veremos más adelante.
En la casilla expansion point podéis cambiar el valor \(x_0\). Intentad escribir pi/2 y pi y observad qué ocurre.
Si clicáis en la casilla More terms en la parte de arriba del gráfico veréis los polinomios de grado \(5\), \(P_5(x)\) y de grado \(7\), \(P_7(x)\). Observad cómo cada vez los polinomios se aproximan más a la función \(f(x)\).
Introducción
Ejemplo anterior
En el ejemplo anterior donde recordemos que \(f(x)=\sin x\), debemos elegir un punto \(x_0\) en el cual conozcamos los valores de \(\sin x_0\) y \(\cos x_0\) ya que si conocemos dichos valores, conoceremos \(f(x_0)\) y las derivadas de cualquier orden: \[ f(x_0)=\sin x_0,\ f'(x_0)=\cos x_0,\ f''(x_0)=-\sin x_0,\ f'''(x_0)=-\cos x_0,\ f^{iv}(x_0)=\sin x_0,\ldots \] Algunos valores \(x_0\) elegibles en este caso son los siguientes: \(x_0=0,\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\pi\) ya que conocemos el valor de \(\sin (x_0)\) y \(\cos(x_0)\) tal como se observa en la tabla siguiente:
| \(x_0\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin(x_0)\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) |
| \(\cos(x_0)\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) |
Cálculo del polinomio de Taylor
El resultado siguiente nos da una expresión del polinomio de Taylor:
Cálculo del polinomio de Taylor
Contenido bastante técnico.
Demostración
Vamos a demostrar la fórmula anterior por inducción sobre \(n\).
Para \(n=0\), \(P_0(x)=f(x_0)\), que por definición es el polinomio de Taylor de grado \(0\) o constante.
Suponemos cierto para \(n\), es decir suponemos que: \[ P_n(x) = f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot (x-x_0)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n. \] Hemos de demostrar que: \[ \begin{array}{rl} P_{n+1}(x) = & f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot (x-x_0)^2+\cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n+\\ & +\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1} = P_n(x)+\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1}. \end{array} \]
Cálculo del polinomio de Taylor
Por hipótesis de inducción, sabemos que: \(P_n^{(i)}(x_0)=f^{(i)}(x_0)\), para \(i=0,\ldots,n\) ya que recordemos que \(P_n(x)\) es el polinomio de Taylor de grado \(n\).
Para verificar que \(P_{n+1}(x)\) correspondiente a la expresión anterior es el polinomio de Taylor de grado \(n+1\), hay que verificar las condiciones siguientes: \(P_{n+1}^{(i)}(x_0)=f^{(i)}(x_0)\), para \(i=0,\ldots,n+1\).
Si \(i\) está entre \(0\) y \(n\), tenemos que: \[ P_{n+1}^{(i)}(x)=P_{n}^{(i)}(x)+(n+1)\cdots (n+2-i)\cdot\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1-i}. \] Si evaluamos la expresión anterior en \(x=x_0\), obtenemos: \[ P_{n+1}^{(i)}(x_0)=P_{n}^{(i)}(x_0)+(n+1)\cdots (n+2-i)\cdot\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}\cdot (x_0-x_0)^{n+1-i} = P_n^{(i)}(x_0)=f^{(i)}(x_0), \] ya que \(n+1-i>0\) por lo que el segundo sumando será nulo y la última igualdad es cierta por hipótesis de inducción.
Cálculo del polinomio de Taylor
Sólo falta demostrar el caso \(i=n+1\). Si hacemos la derivada \(n+1\)-ésima del polinomio \(P_{n+1}(x)\) obtenemos: \[ P_{n+1}^{(n+1)}(x)=P_n^{(n+1)}(x)+f^{(n+1)}(x_0) = f^{(n+1)}(x_0), \] ya que \(P_n^{(n+1)}(x)=0\) al ser \(P_n(x)\) un polinomio de grado \(n\) y por tanto la derivada \(n+1\)-ésima del mismo será 0.
Concluimos por tanto que la derivada \(n+1\)-ésima del polinomio \(P_{n+1}(x)\) será la constante \(f^{(n+1)}(x_0)\) y, en particular, se cumplirá que \(P_{n+1}^{(n+1)}(x_0)=f^{(n+1)}(x_0)\), tal como queríamos demostrar.
Ejemplo
Ejemplo
Consideremos la función \(f(x)=\sin (x)\) y el punto \(x_0=0\). Vamos a hallar el polinomio de Taylor de grado \(n\) de \(f(x)\) en \(x_0=0\).
Lo primero que hemos de calcular a la vista de la expresión vista en el teorema anterior que nos da la expresión del polinomio de Taylor es el valor de la función en \(x_0\), \(f(x_0)\) y el valor de las derivadas de \(f\) en \(x_0\), \(f^{(m)}(x_0)\), para \(m=1,2,\ldots\)
Los valores de \(f^{(m)}(0)\) valen lo siguiente: \[ f(0)=\sin 0=0,\ f'(0)=\cos 0=1,\ f''(0)=-\sin 0=0,\ f'''(0)=-\cos 0 =-1,\ f^{(iv)}(0)=\sin 0 =0, \ldots \] A partir de los cálculos anteriores podemos deducir que \(f^{(n)}(0)=0\), si \(n\) es par y \(f^{(n)}(0)=\pm 1\), si \(n\) es impar y valdrá \(1\) si \(n=1,5,9,\ldots\) y \(-1\) si \(n=3,7,11,\ldots\)
Intentemos escribir el resultado anterior de forma más “compacta”. Decir que \(n\) es par es equivalente a decir que existe un valor \(k\) natural tal que \(n=2k\) y decir que \(n\) es impar es equivalente a decir que existe un valor \(k\) natural tal que \(n=2k+1\). Por tanto, las condiciones anteriores se pueden escribir como: \(f^{(2k)}(0)=0\), \(f^{(2k+1)}(0)=\pm 1\).
Ejemplo
Observemos además que los valores de \(n\) para los que la derivada \(n\)-ésima valía \(1\), (\(n=1,5,9,\ldots\)) corresponde a valores de \(k\) par ya que \(1=2\cdot 0+1,\ 5=2\cdot 2+1,\ 9=2\cdot 4+1,\ldots\) y los valores de \(n\) para los que la derivada \(n\)-ésima valía \(-1\) (\(n=3,7,11,\ldots\)) corresponde a valores de \(k\) impar ya que \(3=2\cdot 1+1,\ 7=2\cdot 3+1,\ 11=2\cdot 5+1,\ldots\)
Por tanto, la condición \(f^{(2k+1)}(0)=\pm 1\) puede escribirse como \(f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k\) ya que la expresión \((-1)^k\) da \(1\) para los \(k\) pares y \(-1\), para los \(k\) impares.
En resumen, tenemos lo siguiente: \(f^{(2k)}(0)=0\), \(f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k\), para \(k=0,1,2,3,\ldots\)
Sea \(n\) un natural. Consideremos dos casos:
- \(n\) par. En este caso, el polinomio de Taylor de grado \(n\) es el siguiente: \[ P_n(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{f''(0)}{2!}\cdot x^2+\cdots + \frac{f^{n}(0)}{n!}\cdot x^n. \] Observemos que el último término del polinomio anterior será \(0\) ya que hemos dicho que \(f^{(n)}(0)=0\) para \(n\) par. Entonces el polinomio \(P_n(x)\) se puede escribir como: \[ P_n(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{f''(0)}{2!}\cdot x^2+\cdots + \frac{f^{n-1}(0)}{(n-1)!}\cdot x^{n-1}. \]
Ejemplo
Si eliminamos los términos correspondientes a derivadas pares al ser nulos, nos queda la expresión siguiente: \[ P_n(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots + \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum_{i=0}^k \frac{(-1)^i x^{2i+1}}{(2i+1)!}, \] donde \(k\) es tal que \(n-1=2k+1\), o, lo que es lo mismo, \(k=\frac{n-2}{2}\).
Consideremos por ejemplo \(n=14\), en este caso \(k=\frac{14-2}{2}=6\). El polinomio de Taylor de \(f(x)=\sin x\) de grado \(14\) en \(x_0=0\) es el siguiente: \[ \begin{array}{rl} P_{14}(x) & =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+\frac{x^{13}}{13!},\\ & = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+\frac{x^9}{362880}-\frac{x^{11}}{39916800}+\frac{x^{13}}{6227020800}. \end{array} \]
Ejemplo
- \(n\) impar. En este caso, el polinomio de Taylor de grado \(n\) es el siguiente: \[
P_n(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{f''(0)}{2!}\cdot x^2+\cdots + \frac{f^{n}(0)}{n!}\cdot x^n.
\] Si eliminamos los términos correspondientes a derivadas pares al ser nulos, nos queda la expresión siguiente: \[
P_n(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots + \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum_{i=0}^k \frac{(-1)^i x^{2i+1}}{(2i+1)!},
\] donde \(k\) es tal que \(n=2k+1\), o, lo que es lo mismo, \(k=\frac{n-1}{2}\). Consideremos por ejemplo \(n=11\), en este caso \(k=\frac{11-1}{2}=5\). El polinomio de Taylor de \(f(x)=\sin x\) de grado \(11\) en \(x_0=0\) es el siguiente: \[
P_{11}(x) =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}
= x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+\frac{x^9}{362880}-\frac{x^{11}}{39916800}.
\] Si váis al enlace siguiente y apretáis una vez la casilla
More termsen la secciónSeries expansion at x=0os aparecerá el polinomio de Taylor de grado 11 y si volvéis a apretar, os aparecerá el polinomio de Taylor de grado 19 que “incluye” el polinomio de Taylor de grado 14.
Desarrollos de MacLaurin
Ejercicio
Hallar el polinomio de Taylor de grado \(n\) para la misma función que el ejemplo anterior en el punto \(x_0=\frac{\pi}{2}\).
En el ejemplo anterior, hemos hallado el polinomio de MacLaurin de grado \(n\) de la función \(f(x)=\sin x\).
Error en el polinomio de Taylor
Una vez conocido cómo hallar el polinomio de Taylor de una función \(f(x)\) en un punto \(x_0\) de su dominio, podemos usar dicho polinomio o dicha expansión para aproximar el valor de dicha función \(f(x)\) para valores \(x\) cercanos a \(x_0\).
Ahora bien, si no tenemos manera de estimar o calcular alguna cota del error que estamos cometiendo, dicha aproximación no tiene ningún sentido ya que sería como “ir a ciegas”, es decir, no sabemos hasta qué punto el valor \(P_n(x)\) aproxima bien o no el valor de \(f(x)\).
El siguiente resultado nos da una expresión que permite acotar el error cometido usando el polinomio de Taylor.
Error en el polinomio de Taylor
Error en el polinomio de Taylor
Esta es la expresión más conocida de la expresión del error del polinomio de Taylor de grado \(n\).
Error en el polinomio de Taylor
Contenido muy técnico.
Demostración
Sea \(x\in (a,b)\) un valor del interior del entorno de \(x_0\) donde \(f\) es \(n+1\) veces derivable. Fijado dicho valor de \(x\), se considera la función siguiente que depende de la variable \(t\): \[ F(t)=f(t)+\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}\cdot (x-t)^k. \] Dicha función \(F(t)\) es continua y derivable en el intervalo \(<x_0,x>\) (recordemos que dicha expresión vale \((x_0,x)\), si \(x>x_0\) y \((x,x_0)\) si \(x<x_0\)) ya que es suma de productos de continuas y derivables: pensad que \(f\) es derivable por hipótesis, \(f^{(k)}\) será derivable ya que \(k\leq n\) y por ser \(f\) derivable \(n+1\) veces por hipótesis y la función \((x-t)^k\) será derivable al ser un polinomio en \(t\).
Error en el polinomio de Taylor
Hallemos el valor de la derivada de \(F\), \(F'(t)\): \[ \begin{array}{rl} F'(t) = & \displaystyle f'(t)+\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}\cdot (x-t)^k -\sum_{k=1}^n k\cdot \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^{k-1} \\ = &\displaystyle f'(t)+\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}\cdot (x-t)^k -\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}\\ = & f'(t)+\frac{f''(t)}{1!}\cdot (x-t)+\frac{f'''(t)}{2!}\cdot (x-t)^2+\cdots+ \frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}\cdot (x-t)^{n-1} + \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\cdot (x-t)^n\\ & -\left(f'(t)+\frac{f''(t)}{1!}\cdot (x-t)+\frac{f'''(t)}{2!}\cdot (x-t)^2 +\cdots + \frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}\cdot (x-t)^{n-1} \right) = \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\cdot (x-t)^n. \end{array} \] Consideremos ahora una función \(G\) cualquiera continua en el intervalo \(<x_0,x>\) cerrado y diferenciable en el mismo intervalo anterior pero abierto tal que \(G'(t)\neq 0\) para todo \(t\in <x_0,x>\) y \(G(x_0)\neq G(x)\).
Si aplicamos el Teorema del valor medio de Cauchy al intervalo \(<x_0,x>\) a las funciones \(F\) y \(G\), tenemos que existe un valor \(c\in <x_0,x>\) tal que: \[ G'(c)\cdot (F(x)-F(x_0))=F'(c)\cdot (G(x)-G(x_0)). \]
Error en el polinomio de Taylor
El valor de \(F(x)-F(x_0)\) es precisamente el error que cometemos al aproximar \(f(x)\) por el polinomio de Taylor de grado \(n\), \(P_n(x)\) ya que: \[ F(x)-F(x_0)=f(t)-\left(f(x_0)+\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k\right)=f(x)-P_n(x). \] Usando la expresión deducida del Teorema del valor medio de Cauchy, podemos escribir que: \[ F(x)-F(x_0)=f(x)-P_n(x)=R_n(x-x_0)=\frac{F'(c)}{G'(c)}\cdot (G(x)-G(x_0)). \] Diferentes expresiones del error se obtienen eligiendo \(G\) de una determinada forma:
- Si \(G(t)=(x-t)^{n+1}\), tenemos que \(G'(t)=-(n+1)\cdot (x-t)^n\) y, por tanto: \[ \begin{array}{rl} R_n(x-x_0) & =\frac{F'(c)}{G'(c)}\cdot (G(x)-G(x_0))=\frac{\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}\cdot (x-c)^n}{-(n+1)\cdot (x-c)^n}\cdot \left(-(x-x_0)^{n+1}\right)\\ & =\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1}. \end{array} \]
Error en el polinomio de Taylor
- Si \(G(t)=(x-t)^{m}\), con \(m\) natural entre \(1\) y \(n+1\), tenemos que \(G'(t)=-m\cdot (x-t)^{m-1}\) y, por tanto: \[ \begin{array}{rl} R_n(x-x_0) & =\frac{F'(c)}{G'(c)}\cdot (G(x)-G(x_0))=\frac{\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}\cdot (x-c)^n}{-m\cdot (x-c)^{m-1}}\cdot \left(-(x-x_0)^{m}\right)\\ & =\frac{f^{(n+1)}(c)}{m\cdot n!}\cdot (x-c)^{n-m+1}\cdot (x-x_0)^{m}, \end{array} \] tal como queríamos demostrar.
Ejemplo
Ejemplo: cálculo aproximado de \(\sin x\)
Vamos a intentar aproximar la función \(f(x)=\sin x\) para un \(x\) próximo a \(0\).
Recordemos que el polinomio de Taylor (de hecho, el de MacLaurin) de la función \(f(x)\) de grado \(n\) es el siguiente: \[ P_n(x)=\sum_{i=0}^k \frac{(-1)^i x^{2i+1}}{(2i+1)!}, \] con \(k=\frac{n-2}{2}\), si \(n\) es par y \(k=\frac{n-1}{2}\), si \(n\) es impar.
El problema que nos planteamos es el siguiente: dado \(x\) y \(\mathrm{error}\) un error absoluto máximo que estamos dispuestos a cometer, calcular el valor de \(P_n(x)\) tal que \(|f(x)-P_n(x)=|\sin x-P_n(x)|\leq \mathrm{error}\).
El primer paso es calcular el valor de \(n\). Nos fijamos a partir de la expresión de \(P_n(x)\) que si \(n\) es par el grado del polinomio de MacLaurin tiene grado \(n-1\) ya que la potencia más alta de \(x\), \(2k+1\) vale \(2k+1=n-1\).
Supondremos que \(n\) es par ya que tiene un término menos que si \(n\) es impar y esto es una ventaja a la hora de computar \(P_n(x)\).
Ejemplo
El error cometido \(R_n(x)\) usando el teorema anterior vale: (usaremos la fórmula de Lagrange) \[ f(x)-P_n(x)=R_n(x)=\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}. \] Dicho error se puede acotar por: \[ |f(x)-P_n(x)|=|R_n(x)|=\left|\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}\right|\leq \max_{c\in <0,x>}\left|f^{n+1}(c)\right|\cdot \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}. \] Al ser \(n\) par, \(|f^{n+1}(c)|=|\cos c|\) ya que \(n+1\) es impar y recordemos que cualquier derivada impar era \(\pm \cos c\). Por tanto, podemos acotar \(\displaystyle \max_{c\in <0,x>}\left|f^{n+1}(c)\right|\) por \(1\): \(\displaystyle\max_{c\in <0,x>}\left|f^{n+1}(c)\right|\leq 1\) y la cota del error será: \[ |f(x)-P_n(x)|=|R_n(x)|\leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}. \] La \(n\) buscada debe verificar: \(\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\leq \mathrm{error}\).
Ejemplo
Como para cualquier valor de \(x\) el límite \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}=0\), seguro que existe una \(n\) tal que \(\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\leq \mathrm{error}\).
La función siguiente nos calcula la \(n\) dado \(x\) y el error en python asegurándose que \(n\) es par:
import math def n(x,error): x=float(x) m=2 while(abs(x)**(m+1)/math.factorial(m+1) >=error): m=m+1 if(m % 2==1): m=m+1 return(m)
Ejemplo
El valor de \(n\) para \(x=0.5\) con un error máximo permitido de \(0.0001\) será:
n(0.5,0.0001)
## 6
El polinomio de Taylor sería en este caso: \[ P_6(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}. \] El valor de \(P_6(0.5)\) vale:
x=0.5 x-x**3/math.factorial(3)+x**5/math.factorial(5)
## 0.47942708333333334
Ejemplo
Sabemos que el valor anterior evalúa \(\sin 0.5\) con un error menor que \(0.0001\). Comprobémoslo en python:
valor_pol_taylor = x-x**3/math.factorial(3)+x**5/math.factorial(5) abs(sin(0.5)-valor_pol_taylor)
## 1.5447291303316568e-06
Ejemplo
Ejemplo: cálculo de \(\mathrm{e}\)
Vamos a calcular \(\mathrm{e}\) con 6 cifras decimales exactas.
Para ello vamos a calcular el polinomio de Taylor de la función \(f(x)=\mathrm{e}^x\) para \(x_0=0\), \(P_n(x)\) y aproximaremos \(f(1)=\mathrm{e}\) por \(P_n(1)\) cometiendo un error menor que \(0.000001\).
Para calcular el polinomio de Taylor de \(f(x)=\mathrm{e}^x\), hemos de calcular \(f^{k}(x)\) para cualquier valor \(k\) natural. En este caso, observamos que \(f^{(k)}(x)=\mathrm{e}^x\) siempre vale lo mismo. Por tanto: \[ P_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot x^k = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}, \] ya que \(f^{(k)}(0)=\mathrm{e}^0=1.\)
Seguidamente vamos a calcular el valor que \(n\) que nos asegure que el error cometido para \(x=1\) usando la expresión anterior \(P_n(1)\) en lugar de \(f(1)=\mathrm{e}\) es menor que \(e=0.000001\).
Ejemplo
Recordemos la expresión de la fórmula del error: \[ |f(x)-P_n(x)|=|R_n(x)|=\left|\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}\right|\leq \max_{c\in <0,x>}\left|f^{n+1}(c)\right|\cdot \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}. \] La expresión anterior para \(x=1\) vale: \[ \begin{array}{rl} |f(1)-P_n(1)| & =|R_n(1)|=\left|\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\cdot 1^{n+1}\right|\leq \max_{c\in (0,1)}\left|f^{n+1}(c)\right|\cdot \frac{1}{(n+1)!}=\max_{c\in (0,1)}\mathrm{e}^c\cdot \frac{1}{(n+1)!}\\ & =\frac{\mathrm{e}}{(n+1)!}. \end{array} \] En la última igualdad hemos usado que la función \(f(x)=\mathrm{e}^x\) es creciente y por tanto \(\displaystyle\max_{c\in (0,1)}\mathrm{e}^c=\mathrm{e}^1=\mathrm{e}\).
Vemos que la cota del error depende del valor de \(\mathrm{e}\) que es precisamente el valor que queremos calcular.
No sabemos el valor exacto de \(\mathrm{e}\) pero podemos usar que es menor que \(3\): \(\mathrm{e}<3\).
La cota anterior será, pues: \[ |f(1)-P_n(1)|=|R_n(1)|=\frac{\mathrm{e}}{(n+1)!}<\frac{3}{(n+1)!}. \]
Ejemplo
La función siguiente nos calcula la \(n\) dado el error en python:
def ne(error): m=2 while(3./math.factorial(m+1) >=error): m=m+1 return(m)
El valor de \(n\) para un error de \(0.000001\) vale:
ne(0.000001)
## 9
Ejemplo
El valor de \(\mathrm{e}\) con 6 cifras decimales exactas será: \[
\mathrm{e}\approx 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}+\frac{1}{8!}+\frac{1}{9!}.
\] Si calculamos su valor en python, obtenemos:
valor_e_aproximado =1 for i in range(1,10): valor_e_aproximado=valor_e_aproximado+1./math.factorial(i) valor_e_aproximado
## 2.7182815255731922
Comprobamos que efectivamente tiene 6 cifras decimales exactas:
math.exp(1)
## 2.718281828459045
Ejemplo
Ejemplo: generalización del binomio de Newton
Recordemos la fórmula del binomio de Newton: dados \(x,y\in\mathbb{R}\) y un natural \(N\), podemos desarrollar la potencia \((x+y)^N\) como: \[ (x+y)^N = \sum_{k=0}^N \binom{N}{k}\cdot x^k\cdot y^{N-k}. \] Sea ahora la función \(f(x)=(x+C)^N\), donde \(C\) es una constante cualquiera. Sea \(x_0\) un valor real. Queremos hallar el polinomio de Taylor de la función anterior alrededor de \(x=x_0\).
Usando la fórmula del binomio de Newton anterior, el polinomio de Taylor de \(f(x)\) de grado \(N\) alrededor del valor \(x=x_0\) es relativamente sencillo de obtener: \[ \begin{array}{rl} f(x)=(x+C)^N & \displaystyle =((x-x_0)+(C+x_0))=\sum_{k=0}^N \binom{N}{k}\cdot (x-x_0)^k\cdot (C+x_0)^{N-k}\\ & =\displaystyle \sum_{k=0}^N \binom{N}{k}\cdot (C+x_0)^{N-k}\cdot (x-x_0)^k. \end{array} \]
Ejemplo
Observad que el desarrollo anterior no tiene error ya que la expresión de la izquierda es un polinomio de grado \(N\). Otra manera de verlo es usar la expresión de la fórmula del error: \[ f(x)-P_N(x)=R_N(x-x_0)=\frac{f^{N+1}(c)}{(N+1)!}\cdot (x-x_0)^{N+1}. \] Ahora bien, como \(f(x)\) es un polinomio de grado \(N\), la derivada \(N+1\)-ésima en cualquier valor será \(0\) (\(f^{N+1}(c)=0\)) y, por tanto, \(R_N(x-x_0)=0\).
Podemos hallar en particular una expresión para \(f^{(k)}(x_0)\): \[ \begin{array}{rl} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} & =\binom{N}{k}\cdot (C+x_0)^{N-k},\\ f^{(k)}(x_0) & =\binom{N}{k}\cdot k!\cdot (C+x_0)^{N-k} = N\cdot (N-1)\cdots (N-k+1)\cdot (C+x_0)^{N-k}. \end{array} \]
Ejemplo
Supongamos ahora que “generalizamos” la función \(f\) de la forma siguiente \(f(x)=(x+C)^\alpha\), donde \(\alpha\) no tiene por qué ser entero sino cualquier valor real. Sea \(x_0\) un valor real que supondremos distinto de \(-C\) para no tener problemas en caso en que \(\alpha <0\) ya que en este caso \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}(x+C)^\alpha = \lim_{x\to x_0} 0^\alpha =\lim_{x\to x_0}\frac{1}{0^{-\alpha}}=\frac{1}{0}=\infty\).
¿Cuál sería el polinomio de Taylor de grado \(n\) para dicha función \(f(x)\) en \(x=x_0\)?
Estaríamos tentados de generalizar la fórmula anterior de la forma siguiente: \[ P_n(x)=\sum_{k=0}^n \binom{\alpha}{k}\cdot (C+x_0)^{\alpha -k}\cdot (x-x_0)^k, \] pero ¿qué vale \(\binom{\alpha}{k}\)?. Pensad que sabemos calcular \(\binom{N}{k}\) si \(N\) es natural pero ahora “nuestra” \(N\) es \(\alpha\) y es un valor real cualquiera.
Como \(\binom{N}{k}\) se puede escribir como \(\binom{N}{k}=\frac{N\cdot (N-1)\cdots (N-k+1)}{k!}\), podríamos generalizar \(\binom{\alpha}{k}\) como \(\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}\) y la expresión anterior ya tendría sentido.
De acuerdo, todo lo escrito hasta ahora está muy bien, pero ¿es cierta la fórmula anterior?
Ejemplo
Veamos que sí, que la fórmula anterior es cierta.
Primero calculemos las derivadas sucesivas de \(f(x)=(x+C)^\alpha\): \[ f'(x)=\alpha\cdot (x+C)^{\alpha-1},\ f''(x)=\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot (x+C)^{\alpha-2},\ f'''(x)=\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot (\alpha-2)\cdot (x+C)^{\alpha-3}, \] y, en general: \[ f^{(k)}(x)=\alpha\cdot (\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)\cdot (x+C)^{\alpha-k}. \] Si evaluamos en \(x=x_0\) obtenemos: \[ f^{(k)}(x_0)=\alpha\cdot (\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)\cdot (x_0+C)^{\alpha-k}=\binom{\alpha}{k}\cdot k!\cdot (x_0+C)^{\alpha-k}. \]
Ejemplo
El polinomio de Taylor de grado \(n\) de \(f(x)\) en \(x=x_0\) será: \[ \begin{array}{rl} P_n(x) & \displaystyle =\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k = \sum_{k=0}^n\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}\cdot (x_0+C)^{\alpha-k}\cdot (x-x_0)^k \\ & \displaystyle = \sum_{k=0}^n \binom{\alpha}{k}\cdot (x_0+C)^{\alpha-k}\cdot (x-x_0)^k, \end{array} \] tal como queríamos ver.
El error cometido será: \[ R_n(x-x_0)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1}=\binom{\alpha}{n+1}\cdot (c+C)^{\alpha-n-1}\cdot (x-x_0)^{n+1} \] donde \(c\in <x_0,x>\).
Ejemplo
Como aplicación, calculemos el polinomio de Taylor de la función \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}\) para \(x_0=2\).
En este caso \(\alpha = -\frac{1}{2}\) y \(C=1\).
Los valores de \(\binom{-\frac{1}{2}}{k}\) son los siguientes: \[ \binom{-\frac{1}{2}}{k} = \frac{-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}-1\right)\cdots \left(-\frac{1}{2}-k+1\right)}{k!}=\frac{-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\cdots \left(-\frac{(2k-1)}{2}\right)}{k!}=\frac{(-1)^k\cdot (2k-1)!!}{2^k\cdot k!}. \] El polinomio de Taylor de grado \(n\) para \(f(x)\) en \(x_0=2\) será: \[ P_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k\cdot (2k-1)!!}{2^k\cdot k!}\cdot 3^{-\frac{1}{2}-k}\cdot (x-2)^k=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k\cdot (2k-1)!!}{2^k\cdot \sqrt{3^{2k+1}}\cdot k!}\cdot (x-2)^k. \] El error cometido será: \[ R_n(x-2)=\binom{-\frac{1}{2}}{n+1}\cdot (1+c)^{-\frac{1}{2}-n-1}\cdot (x-2)^{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}\cdot (2n+1)!!}{2^{n+1}\cdot \sqrt{(1+c)^{2n+3}}\cdot (n+1)!}\cdot (x-2)^{n+1}. \]
Ejemplo
Si suponemos que \(x>2\), usando que \(c\in (2,x)\), y, por tanto, \(\frac{1}{1+c}\leq \frac{1}{3}\), podemos acotar el error cometido por: \[ |R_n(x-2)|\leq\frac{(2n+1)!!}{2^{n+1}\cdot \sqrt{3^{2n+3}}\cdot (n+1)!}\cdot (x-2)^{n+1}. \] Consideremos \(x=2.25\). Calculemos el valor de \(n\) para calcular \(f(2.25)\) con un error menor que \(0.000001\):
def doublefactorial(n):
if n in (0, 1):
return 1
else:
return n * doublefactorial(n-2)Ejemplo
def calculo_n(error):
x=2.25
m=2
cota_error=(doublefactorial(2*m+1)/(2.**(m+1)*math.sqrt(3.)**(2*m+3)*
math.factorial(m+1)))*(x-2)**(m+1)
while(cota_error >= error):
m=m+1
cota_error=(doublefactorial(2*m+1)/(2.**(m+1)*math.sqrt(3.)**(2*m+3)*
math.factorial(m+1)))*(x-2)**(m+1)
return(m)
El valor del grado \(n\) del polinomio de Taylor será:
calculo_n(0.000001)
## 4
Ejemplo
El polinomio de Taylor será: \[ P_4(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{6 \sqrt{3}}\cdot (x-2)+\frac{1}{24\sqrt{3}}\cdot (x-2)^2-\frac{5}{432\sqrt{3}}\cdot (x-2)^3+\frac{35}{10368\sqrt{3}}\cdot (x-2)^4. \] Calculemos el valor de \(P_4(2.25)\):
coeficientes=[1.,-1./6,1./24,-5./432,35./10368] coeficientes=[(1./math.sqrt(3.))*c for c in coeficientes] x=2.25 y=x-2 potencias=[1,y,y**2,y**3,y**4] import numpy numpy.dot(potencias,coeficientes)
## 0.55470072673501425
Ejemplo
Comprobemos que tiene efectivamente 6 cifras decimales exactas:
1/math.sqrt(2.25+1.)
## 0.5547001962252291
Propiedades del desarrollo de Taylor
La proposición siguiente es útil si queremos hallar el polinomio de Taylor de una función que puede escribirse como suma, producto o cociente de funciones donde es más fácil conocer su polinomio de Taylor:
- El polinomio de Taylor de toda función escrita como combinación lineal de \(f\) y \(g\), \(\lambda f+\mu g\), con \(\lambda,\mu\in \mathbb{R}\) constantes reales es \(\lambda P_n(x)+\mu Q_n(x)\).
- La función producto \(f\cdot g\) admite un polinomio de Taylor en el mismo entorno del punto \(x_0\). Dicho polinomio de Taylor de la función \(f\cdot g\) se calcula realizando el producto de los dos polinomios, \(P_n(x)\cdot Q_n(x)\) y eliminando todos los términos de grado mayor o igual que \(n+1\) en \((x-x_0)\).
Propiedades del desarrollo de Taylor
- Si \(g(x_0)\neq 0\), el cociente \(\frac{f}{g}\) admite un polinomio de Taylor en este entorno. Dicho polinomio de Taylor de la función \(\frac{f}{g}\) se calcula de realizar la operación \(\frac{P_n(x)}{Q_n(x)}\), desarrollando esta expresión en potencias de \((x-x_0)\) y eliminando todos los términos de grado mayor o igual que \(n+1\).
Ejemplo
Ejemplo
Como ejemplo de aplicación, calculemos el polinomio de Taylor grado \(n\) de la función \(f(x)=\frac{1}{1-x^2}\) en un punto \(x_0\) cualquiera distinto de \(\pm 1\) ya que los valores \(\pm 1\) no pertenecen al dominio de \(f(x)\). Pensad que \(\displaystyle\lim_{x\to\pm 1}f(x)=\lim_{x\to\pm 1}\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{0}=\infty\).
Podemos descomponer la función \(f(x)\) de la forma siguiente: \[ \frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right). \] Para calcular los polinomios de Taylor de las funciones \(f_1(x)=\frac{1}{1-x}\) y \(f_2(x)=\frac{1}{1+x}\) en un punto cualquiera \(x_0\), a los que llamaremos \(P_{1,n}(x)\) y \(P_{2,n}(x)\), respectivamente, podemos usar la técnica vista en el ejemplo anterior donde generalizábamos la fórmula de Newton.
Ejemplo
Escribimos \(f_1(x)\) de la forma siguiente: \(f_1(x)=-\frac{1}{x-1}\). Entonces el valor de \(\alpha\) vale \(\alpha=-1\) y \(C=-1\). El polinomio \(P_{1,n}(x)\) será el siguiente: \[ P_{1,n}(x)=-\sum_{k=0}^n\binom{-1}{k}\cdot (x_0-1)^{-1-k}\cdot (x-x_0)^k. \] Calculemos el valor de \(\binom{-1}{k}\): \[ \binom{-1}{k}=\frac{(-1)\cdot (-2)\cdots (-1-k+1)}{k!}=\frac{(-1)^k\cdot k!}{k!}=(-1)^k. \] El valor del polinomio \(P_{1,n}(x)\) será el siguiente: \[ P_{1,n}(x)=-\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(x_0-1)^{k+1}}\cdot (x-x_0)^k. \]
Ejemplo
Usando el mismo razonamiento anterior, podemos obtener el polinomio \(P_{2,n}(x)\) donde \(\alpha =-1\) y \(C=1\): \[ P_{2,n}(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(x_0+1)^{k+1}}\cdot (x-x_0)^k. \] Usando que \(f(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)\), el polinomio de Taylor de la función \(f(x)\) en \(x_0\) de grado \(n\) será: \[ P_n(x)=\frac{1}{2}\left(P_{1,n}(x)+P_{2,n}(x)\right)=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^n (-1)^k\left(\frac{1}{(x_0+1)^{k+1}}-\frac{1}{(x_0-1)^{k+1}}\right)\cdot (x-x_0)^k. \]
En el enlace siguiente se muestra el desarrollo de Taylor de la función \(f(x)=\frac{1}{1-x^2}\) hasta orden \(5\), es decir, hasta el polinomio de grado \(5\), \(P_5(x)\). Si apretáis el botón More terms en la sección Series expansion at x=x0, Mathematica os calculará más términos del desarrollo de Taylor o aumentará el grado del polinomio. Comparad los valores que da el Mathematica con la solución obtenida. En la sección Series representation at x = x0 da una expresión muy parecida a la obtenida.
Estudio local de una función
Introducción
Dada una función real de variable real \(f\), en esta sección vamos a estudiar cómo podemos representarla gráficamente estudiando un conjunto de características de la mismas donde la mayoría de ellas están basadas en la función derivada.
Antes de realizar dicho estudio necesitamos:
- estudiar el crecimiento, decrecimento y extremos locales de la función \(f\) en el caso general, es decir, estudiando las derivadas de orden superior y,
- estudiar la concavidad y la convexidad de la función \(f\) que definiremos más adelante.
Estudio del crecimiento y extremos de una función
El teorema siguiente nos dice cuándo una función es creciente o decreciente y nos da condiciones para los extremos a partir de condiciones que tienen que verificar derivadas de orden superior de la función:
- Si \(f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots =f^{(2n)}(x_0)=0\) y \(f^{(2n+1)}(x_0)\neq 0\), resulta que:
- si \(f^{(2n+1)}(x_0)>0\), \(f\) es creciente en \(x_0\),
- si \(f^{(2n+1)}(x_0)<0\), \(f\) es decreciente en \(x_0\).
Estudio del crecimiento y extremos de una función
- Si \(f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots =f^{(2n-1)}(x_0)=0\) y \(f^{(2n)}(x_0)\neq 0\), resulta que:
- si \(f^{(2n)}(x_0)>0\), entonces \(f\) tiene un mínimo en \(x=x_0\),
- si \(f^{(2n)}(x_0)<0\), entonces \(f\) tiene un máximo en \(x=x_0\).
Estudio del crecimiento y extremos de una función
Estudio del crecimiento y extremos de una función
Contenido técnico.
Demostración
Consideremos la expresión del polinomio de Taylor de grado \(2n+1\) en \(x_0\) junto con la expresión del resto de Lagrange: \[ f(x)=\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k + R_{2n+1}(x-x_0). \] Teniendo en cuenta que \(f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots = f^{2n}(x_0)=0\), la expresión anterior queda de la forma siguiente al ser \(0\) los sumandos para \(k=1,2,\ldots,2n\): \[ f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(2n+1)}(x_0)}{(2n+1)!}\cdot (x-x_0)^{2n+1} + R_{2n+1}(x-x_0). \]
Estudio del crecimiento y extremos de una función
Por tanto: \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}=\frac{f^{(2n+1)}(x_0)}{(2n+1)!} +\frac{R_{2n+1}(x-x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}. \]
Como \(R_{2n+1}(x-x_0)=\frac{f^{(2n+2)}(c)}{(2n+2)!}\cdot (x-x_0)^{2n+2}\), con \(c\in <x,x_0>\), se verificará que: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{R_{2n+1}(x-x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(2n+2)}(c)}{(2n+2)!}\cdot (x-x_0)=0. \] La condición anterior nos dice que el término dominante en la expresión de \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}\) es el primero, \(\frac{f^{(2n+1)}(x_0)}{(2n+1)!}\), ya que el segundo, \(\frac{R_{2n+1}(x-x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}\), tiende a cero. Por tanto, para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\), \[ \mathrm{signo}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}\right)=\mathrm{signo}\left(\frac{f^{(2n+1)}(x_0)}{(2n+1)!}\right). \]
Estudio del crecimiento y extremos de una función
Probemos a continuación las tesis de la primera parte del teorema:
supongamos que \(f^{(2n+1)}(x_0)>0\). En este caso, como \(\mathrm{signo}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}\right)=\mathrm{signo}\left(\frac{f^{(2n+1)}(x_0)}{(2n+1)!}\right)\), tendremos que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}} > 0\), y, como consecuencia \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)} > 0\) (ya que \(2n+1\) es impar y el signo de \((x-x_0)^{2n+1}\) y \(x-x_0\) es el mismo), condición que equivale a decir que \(f\) es creciente en \(x_0\).
- supongamos que \(f^{(2n+1)}(x_0)<0\). En este caso, como \(\mathrm{signo}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}\right)=\mathrm{signo}\left(\frac{f^{(2n+1)}(x_0)}{(2n+1)!}\right)\), tendremos que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}} < 0\), y, como consecuencia \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)} < 0\) (por la misma razón que antes), condición que equivale a decir que \(f\) es decreciente en \(x_0\).
Estudio del crecimiento y extremos de una función
Para la demostración de la segunda parte, consideremos la expresión del polinomio de Taylor de grado \(2n\) en \(x_0\) junto con la expresión del resto de Lagrange: \[ f(x)=\sum_{k=0}^{2n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k + R_{2n}(x-x_0). \] Teniendo en cuenta que \(f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots = f^{2n-1}(x_0)=0\), la expresión anterior queda de la forma siguiente al ser \(0\) los sumandos para \(k=1,2,\ldots,2n-1\): \[ f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}\cdot (x-x_0)^{2n} + R_{2n}(x-x_0). \] Por tanto: \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}}=\frac{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!} +\frac{R_{2n}(x-x_0)}{(x-x_0)^{2n}}. \]
Estudio del crecimiento y extremos de una función
Como \(R_{2n}(x-x_0)=\frac{f^{(2n+1)}(c)}{(2n+1)!}\cdot (x-x_0)^{2n+1}\), con \(c\in <x,x_0>\), se verificará que: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{R_{2n}(x-x_0)}{(x-x_0)^{2n}}=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(2n+1)}(c)}{(2n+1)!}\cdot (x-x_0)=0. \] La condición anterior nos dice que el término dominante en la expresión de \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}}\) es el primero, \(\frac{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}\), ya que el segundo, \(\frac{R_{2n}(x-x_0)}{(x-x_0)^{2n}}\), tiende a cero. Por tanto, para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\), \[ \mathrm{signo}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}}\right)=\mathrm{signo}\left(\frac{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}\right). \]
Estudio del crecimiento y extremos de una función
Probemos a continuación las tesis de la segunda parte del teorema:
si \(f^{(2n)}(x_0)>0\), como \(\mathrm{signo}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}}\right)=\mathrm{signo}\left(\frac{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}\right)\), tendremos que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}} > 0\), y, como consecuencia \(f(x)-f(x_0) > 0\) (ya que \(2n\) es par y el signo de \((x-x_0)^{2n}\) siempre es positivo), condición que equivale a decir que \(f\) tiene un mínimo en \(x_0\).
- si \(f^{(2n)}(x_0)<0\), como \(\mathrm{signo}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}}\right)=\mathrm{signo}\left(\frac{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}\right)\), tendremos que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}} < 0\), y, como consecuencia \(f(x)-f(x_0) < 0\) (por la misma razón que antes), condición que equivale a decir que \(f\) tiene un máximo en \(x_0\).
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
La concavidad/convexidad de una función es una propiedad muy útil a la hora de representar dicha función.
De forma intuitiva, una función convexa es aquélla que está por encima de las rectas tangentes en sus puntos de su gráfica y una función cóncava es aquélla que está por debajo.
Ver las dos gráficas siguientes.
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Demos a continuación su definición formal:
Diremos que \(f\) es estrictamente convexa o estrictamente cóncava si las desigualdades anteriores son estrictas.
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Gráficamente una función es convexa cuando dados dos valores cualesquiera \(x_1<x_2\) dentro del dominio de la función, el trozo de la gráfica de la función entre \(x_1\) y \(x_2\) está por debajo de la recta que une los puntos \((x_1,f(x_1))\) y \((x_2,f(x_2))\).
Ver la figura siguiente.
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Matemáticamente, la condición anterior es equivalente a decir que para todo punto \(x\) del intervalo \([x_1,x_2]\), \(f(x)\leq\) imagen de \(x\) por la recta que une los puntos \((x_1,f(x_1))\) y \((x_2,f(x_2)).\)
La ecuación de la recta que une los puntos \((x_1,f(x_1))\) e \((x_2,f(x_2))\) es la siguiente: \[ y=f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot (x-x_1). \]
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Entonces decir que \(f(x)\leq\) imagen de \(x\) por la recta que une los puntos \((x_1,f(x_1))\) y \((x_2,f(x_2))\) equivale a la expresión siguiente: \[ f(x)\leq f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot (x-x_1). \] Los puntos \(x\) que están en el intervalo \([x_1,x_2]\) se pueden escribir como \(t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2\) variando \(t\) en el intervalo \([0,1]\). Por ejemplo, para \(t=0\), obtenemos el extremo izquierdo \(x_1\), para \(t=1\), el extremo derecho \(x_2\) y para \(t=\frac{1}{2}\), el punto medio entre los dos valores \(\frac{x_1+x_2}{2}\).
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
La condición de concavidad sería la siguiente: dados \(x_1< x_2\) y \(t\in [0,1]\) se verifica: \[ \begin{array}{rl} f(t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2) & \leq f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot (t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2-x_1)\\ f(t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2) & \leq f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot (1-t)\cdot (x_2-x_1)\\ f(t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2) & \leq f(x_1)+(f(x_2)-f(x_1))\cdot (1-t) \\ f(t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2) & \leq t\cdot f(x_1)+(1-t)\cdot f(x_2). \end{array} \] La última desigualdad es la condición que tenemos en la definición de convexidad.
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
La concavidad se razona de la misma manera, sólo se tiene que tener en cuenta que ahora dados dos valores cualesquiera \(x_1<x_2\) dentro del dominio de la función, el trozo de la gráfica de la función entre \(x_1\) y \(x_2\) está por encima de la recta que une los puntos \((x_1,f(x_1))\) y \((x_2,f(x_2))\).
Ver la figura siguiente.
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
La proposición siguiente nos dice que la recta tangente en un punto de la gráfica de una función convexa (cóncava) está por debajo (encima) de la función tal como enunciamos al introducir los conceptos de convexidad y concavidad:
- si \(f\) es convexa en un entorno de \(x_0\), se verifica que \(f(x)\geq f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)\), para todo valor \(x\) en dicho entorno.
- si \(f\) es cóncava en un entorno de \(x_0\), se verifica que \(f(x)\leq f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)\), para todo valor \(x\) en dicho entorno.
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Entonces afirmar que \(f(x)\geq f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)\) equivale a afirmar que la función en \(x\) está por encima de la recta tangente en \(x\) tal como se observaba en el gráfico anterior.
En el caso de que \(f\) sea cóncava, la observación anterior es la misma pero en lugar de decir que la función está por encima, hemos de decir que la función está por debajo.
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Contenido técnico.
Demostración de la proposición
Supongamos que \(f\) es convexa en \(x_0\) en un entorno de \(x_0\). Es decir, existe un \(\delta >0\) tal que \(f\) es convexa en el intervalo \((x_0-\delta,x_0+\delta)\).
Sean \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\) un valor en dicho entorno. Por ser \(f\) convexa, se verifica la condición siguiente para todo valor \(t\in [0,1]\): \[ f(t\cdot x+(1-t)\cdot x_0)\leq t\cdot f(x)+(1-t)\cdot f(x_0). \] Operando, obtenemos: \[ \frac{f(x_0+t\cdot (x-x_0))-f(x_0)}{t}\leq f(x)-f(x_0). \]
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Como la desigualdad anterior es cierta para todo valor de \(t\in [0,1]\), si hacemos tender \(t\to 0\) la parte de la izquierda obtenemos: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\cdot (x-x_0))-f(x_0)}{t} & \leq f(x)-f(x_0)\\ \displaystyle f'(x_0)\cdot (x-x_0)& \leq f(x)-f(x_0) \\ \displaystyle f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0) & \leq f(x), \end{array} \] tal como queríamos ver.
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
El cálculo del límite \(\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\cdot (x-x_0))-f(x_0)}{t}\) se puede realizar usando la regla de L’Hôpital: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\cdot (x-x_0))-f(x_0)}{t} &\displaystyle =\lim_{t\to 0}\frac{\frac{d}{dt}(f(x_0+t\cdot (x-x_0))-f(x_0))}{1} \\ & \displaystyle = \lim_{t\to 0}f'(x_0+t\cdot (x-x_0))\cdot (x-x_0) =f'(x_0)\cdot (x-x_0), \end{array} \] donde hemos aplicado la regla de la cadena al derivar respecto la variable \(t\).
El caso en que \(f\) sea cóncava se razona de manera similar.
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Un punto de inflexión de una función es un punto donde a la izquierda del mismo la función tiene un tipo de convexidad (cóncava o convexa) y a la derecha, otro tipo de convexidad. Es decir, se pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava:
Ver la figura siguiente.
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
El siguiente resultado caracteriza la concavidad y la convexidad de una función a partir de sus derivadas:
- si \(f''(x_0)\neq 0\), entonces
- si \(f''(x_0)>0\), tenemos que \(f\) es convexa en un entorno de \(x_0\) y
- si \(f''(x_0)<0\), tenemos que \(f\) es cóncava en un entorno de \(x_0\).
- si \(f''(x_0)=0\) y \(f'''(x_0)\neq 0\), entonces \(f\) tiene un punto de inflexión en \(x=x_0\).
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Es decir que si una función es convexa, \(f'\) es creciente y si es cóncava, \(f'\) es decreciente.
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
En el gráfico que vimos al principio de la sección se muestran en verde un conjunto de rectas tangentes a una función convexa en rojo. Fijáos que a medida que la variable \(x\) aumenta, la pendiente de las rectas tangentes, es decir, la derivada va aumentando. Es decir, las rectas tangentes van “subiendo”. Se empieza con rectas tangentes de pendiente negativa, se llega a la recta tangente de pendiente cero (el mínimo) y se acaba con rectas tangentes de pendiente positiva.
En el segundo gráfico que vimos al principio de la sección se muestra lo mismo pero para una función cóncava. Fijáos que a medida que la variable \(x\) aumenta, la pendiente de las rectas tangentes, es decir, la derivada va disminuyendo. Es decir, las rectas tangentes van “bajando”. Se empieza con rectas tangentes de pendiente positiva, se llega a la recta tangente de pendiente cero (el máximo) y se acaba con rectas tangentes de pendiente negativa.
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Contenido técnico.
Demostración del teorema
Supongamos que \(f''(x_0)>0\) y vamos que \(f\) que \(f\) es convexa en un entorno de \(x_0\).
Como \(f''\) es continua al ser \(f\) tres veces derivable y \(f''(x_0)>0\), existe un \(\delta >0\) tal que \(f''(x)>0\), para todo \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\). Es decir, \(f''\) es positiva en un entorno del punto \(x_0\).
Sean \(x_1\) y \(x_2\) dos valores en dicho entorno, \(x_1,x_2\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\).
Sea \(x_3=t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\).
Aplicando la expresión anterior para \(x=x_1,x_2\), obtenemos: \[ \begin{array}{rl} f(x_1) & =\displaystyle f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x_1-x_0)+\frac{f^{(2n)}(c_1)}{(2n)!}\cdot (x-x_0)^{2n},\\ f(x_2) & =\displaystyle f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x_2-x_0)+\frac{f^{(2n)}(c_2)}{(2n)!}\cdot (x-x_0)^{2n}, \end{array} \] con \(c_1\in <x_0,x_1>\) y \(c_2\in <x_0,x_2>\). Por tanto, \(c_1,c_2\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\) y, como consecuencia \(f^{(2n)}(c_1)>0\) y \(f^{(2n)}(c_2)>0\).
Estudio de la concavidad y la convexidad de una función
Sea \(x=t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\).